CALCULO DIFERENCIAL, FUNCIONES EXP. Y LOG.

Continuando con los ejercicios de cálculo diferencial, recordaremos  el procedimiento para resolver problemas relacionados con funciones exponenciales y logaritmos. Aprovecho para comentar que la única forma de poder intuir la fórmula a utilizar, es necesario que practiquen ("El error hace al maestro").

DERIVADAS DE EXPONENTES Y LOGARITMOS.

En este apartado se explica el uso de las fórmulas DFEL10-14, para uso exclusivo de funciones logarítmicas y exponenciales.

a) DFEL1O, LOGARITMO.

Esta fórmula se utiliza para resolver problemas donde intervenga el logaritmo. 

Dx(log u)=[(log e)/u]Dx(u)

Nótese que para estas funciones, el logaritmo tiene un argumento log(u) y el cual no puede ser modificado a menos que se utilicen fórmulas que permitan esto (Vease del formulario FEYL). Otro dato es que la literal "e" se toma en este caso como una constante y que es  el argumento; es común que cuando el argumento solo es un monomio no se coloca entre paréntesis, sin embargo, solo no lo pondré en la fórmula pero en los demás casos lo ocuparé para que no se confunda.

Ejemplifiquemos con la siguiente función:

y = 6x^2*log (2x)

y'= Dx[6x^2*log (2x)]
  = 6x^2Dx[log (2x)] + log (2x)Dx[6x^2] //DFA8
  = 6x^2[{(log e)/2x}Dx(2x)] + log (2x)(12x)  //DFEL10, DFA4,3
  = 6x^2[{(log e)/2x}(2)] + log (2x)(12x) //DFA4,1

  = 12x^2*log e/2X + 12x*log(2x)
  = 6x*log e + 12x*log(2x)
  = 6x[log e + 2log(2x)]
  = 6x[log e + log(2x)^2] //FEYL3
  = 6x[log(4ex^2)] //FEYL1

  = 6xlog(4ex^2)

b) DFEL11, LOGARITMO NATURAL O NEPERIANO.

Como en el logaritmo, el logaritmo natural tiene un argumento y se debe respetar o podremos modificarlo utilizando las fórmulas FEYL.

Dx(Ln|u|) = Dx(u)/u

y = ln^3|x|
  = (ln|x|)^3 //FEYL5

y'= Dx[(ln|x|)^3]
  = 3(ln|x|)^2Dx(ln|x|)       //DFA7
  = 3(ln|x|)^2[Dx(x)/x]      //DFEL11
  = 3(ln|x|)^2[1/x]      //DFA2

  = 3ln^2|x|/x

c) DFEL12, UNA CONSTANTE ELEVADA A LA POTENCIA VARIABLE.

Las siguientes fórmulas se utilizan para cuando nos referimos a potencias variables; en este caso tenemos que una constante es elevada a una potencia que es variable.

Dx(a^u) = a^u Ln|a|Dx(u)


y = 10^(nx)

y'= Dx[10^(nx)]
  = 10^(nx) Ln|10| Dx(nx) //DFEL12
  = 10^(nx) Ln|10| (n) //DFA4,1

  = 10^(nx)nLn|10|


d) DFEL13

Esta fórmula es utilizada cuando tenemos a la "e" elevada a una potencia variable, sino se considera como una constante.

Dx(e^u) = e^u Dx(u)

y = 2/e^x = 2e^(-x)

y'= Dx[2e^(-x)]
  = 2Dx[e^(-x)] //DFA4
  = 2[e^(-x) Dx(-x)] //DFEL13
  = 2[e^(-x)(-1)] //DFA2

  = - 2/e^x

e) DFE14

La última función es ocupada cuando una variable es elevada a una potencia variable.

Se recomienda realizar anticipadamente las operaciones y después sustituir en la derivada principal.

Dx(v^u) = uv^(u-1) Dx(v) + v^u Ln|v|Dx(u)


y = x^(2x)

v=x Dx(v)=Dx(x)=1   //DFA2

u=2x Dx(u)=Dx(2x)=2  //DFA4,2


y'= Dx[x^(2x)]
y'= 2x[x^(2x-1)](1) + x^(2x) Ln|x| (2) //DFEL14
y'= 2x^(2x) + 2x^(2x)Ln|x|

y'=2x^(2x)[1 + Ln|x|]




//FIN