MANUAL DE LAPLACE

Mientras inician los Talleres de Matemáticas, les dejo la dirección donde pueden descargar el Manual de Laplace, el cual se utilizará para el Taller de Laplace.

El temario del taller ya está publicado en el apartado de "Temario" de esta página, para que se enteren de qué tratará.

Estén al pendiente de la página en Facebook para que se enteren de la convocatoria de los talleres.

Pronto seguiré publicando ejercicios de Integrales.

ManualLaplaceDescarga

Si tienen dudas o algún comentario, escriban en las líneas abajo de esta entrada.

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CÁLCULO INTEGRAL MEDIANTE FÓRMULAS 8-17 (TRIGONOMÉTRICAS, PARTE 1)

Ya faltando 4 entregas para finalizar la parte de Cálculo Integral, les muestro los casos para Func. Trigonométricas a través de 10 fórmulas (8-17). En esta primera parte tratamos del 8 al 12. En estos ejemplos se analizan casos donde se encuentran sólo la función; en caso de encontrarla como un producto, su solución puede ser mediante técnicas de integración como lo vimos en la entrada anterior (por ejem: e^x Sen(x)), o porque es complemento de la integral y solo deben ocupar la fórmula 4.

EJERCICIO 1.- INT| x Sen(x^2)dx |

De igual forma que en los ejercicios anteriores, solo se necesita comprobar que la fórmula tenga completa su parte de derivada, es decir, que esté completo el diferencial. Como podrán notar la variable se encuentra en el argumento y si se encuentra un producto, eso quiere decir que el otro factor puede ser parte del diferencial. Y nunca olviden que las funciones trigonométricas deben estar siempre acompañadas del argumento, es una aberración poner solo SEN, COS, etc. 

//Fórmula 8: 

INT| Sen(v)dv |= -Cos(v) +C

v= x^2

dv/dx= d(x^2)/dx= 2x :. dv= 2xdx

(1/2)INT| Sen(x^2) 2xdx |

=(1/2)[-Cos (x^2)] +C

= -Cos(x^2)/2 +C

EJERCICIO 2.- INT| Cos(ln|x|)/x dx |

//Fórmula 9: 

INT| Cos(v)dv |= Sen(v) +C

v= ln|x|

dv/dx= d(ln|x|)/dx= 1/x :. dv= dx/x

INT| Cos(ln|x|) dx/x |

=Sen( ln(x) ) +C

EJERCICIO 3.- INT| dx/Cos^2(x) |

//Fórmula 10: 

INT| Sec^2(v) |= Tan|v| +C

//Un paso previo a la integración

1/cos^2(x)= 1^2/[cos(x)]^2 = [1/cos(x)]^2

Si 1/Cos(x)= Sec(x):. 

[1/cos(x)]^2= [Sec(x)]^2= Sec^2(x)

Entonces,

//Integremos

INT| Sec^2(x)dx |

v= x

dv/dx= d(x)/dx= 1 :. dv=dx 

= Tan(x) +C

EJERCICIO 4.- INT| Csc^2(3x) dx |

//Fórmula 11: 

INT| Csc^2(v) |= -Cot|v| +C

v= 3x

dv/dx= d(3x)/dx= 3 :. dv= 3dx

 (1/3)INT| Csc^2(3x) 3dx |

= -Cot(3x)/3 +C

EJERCICIO 5.- INT| Sec(t/3) Tan(t/3) dt |

//Fórmula 12: 

INT| Sec(v)Tan(v) |= Sec|v| +C

v= t/3

dv/dt= d(t/3)/dt= 1/3 :. dv= dt/3

(3)INT| Sec(t/3) Tan(t/3) dt/3 |

= 3 Sec(t/3) +C

//Fin.

Si tienen dudas, pueden dejar sus comentarios o seguirme en Twitter @Edno_Sam o en Facebook /TALLERES DE MATEMATICAS UV.

CÁLCULO INTEGRAL MEDIANTE FÓRMULAS 5-7 (EXP. Y LOG.)

Continuando con la Integración a través de fórmulas, en esta entrada se tratará la utilidad de las fórmulas 5, 6 y 7 cuando el problema trata una variable exponencial o logaritmo. En cada caso comentaré algunos casos que se pueden presentar.

EJERCICIO 1.- INT| (2x+3)/(x^2+3x) dx |

La primera fórmula es la 5 y trata sobre la solución de integrales tipo fracción. Si recuerdan en los trabajos anteriores, cuando tenemos una fracción lo que se hacia era subir el denominador al numerador con ayuda de la ley de exponentes 5 (revisar formulario), de tal forma que visualmente parecía una forma directa de solución con la fórmula 4 (para aclarar esto, ver entradas anteriores). No obstante puede resultar que el numerador es un complemento del diferencial, entonces si realizan primero verlo como la fórmula 4 y aun les sobran variables, entonces recurran a la 5. Como advertencia, recuerden que la fórmula 4 tiene una restricción y esta es que el exponente n debe ser diferente de -1 ya que de no ser así, el valor final sería 1 (x^0) y eso no es correcto.

//Fórmula 5: 

INT| dv/v |= ln|v| +C

INT| (2x+3)/(x^2+3x) dx |

v=x^2+3x

dv/dx= d(x^2+3x)/dx =2x +3 :. dv=(2x +3)dx

//Como dv está completa, utilizamos directamente la fórmula como solución.

=ln| x^2 +3x | +C

EJERCICIO 2.- INT| sec^2(y)/(a+b tg(y)) dy |

Este problema tiene la misma solución que el problema 1. Lo único que queda por aclarar es que la solución de fracciones con fórmula solo se tiene la 5 y las del 18 al 21; caso contrario, se deben utilizar Técnicas de Integración para encontrar una solución. 

INT| sec^2(y)/(a+b tg(y)) dy |

v= a+b tg(y)

dv/dy= d(a+b tg(y)) =b sec^2(y) :. dv= b sec^2(y) dy

= (1/b) INT| sec^2(y)(b dy)/(a+b tg(y)) |

=ln| a+b tg(y) | /b +C

EJERCICIO 3.- INT| a^(2x) dx |


La fórmula a tratar es la 6 y es sobre la integración de constantes con exponentes variables. Con respecto a ln|v| esta no es una fórmula directa sino que se obtiene mediante Integración por Partes.

//Fórmula 6: 

INT| a^v dv |= a^v/ln|a| +C

 INT| a^(2x) dx |

v=2x
dv/dx= d(2x)/dx= 2 :. dv= 2dx


= (1/2) INT| a^(2x) 2dx |
= (1/2) [ a^(2x)/ln|a| ] +C
= [ a^(2x)/2ln|a| ] +C


= [ a^(2x)/ln|a^2| ] +C

EJERCICIO 4.- INT| a^x e^x dx |


INT| a^x e^x dx |
= INT| (ae)^x dx |

v= x
dv/dx= dx/dx= 1 :. dv=dx


= (ae)^x/ln|ae| +C
= (ae)^x/(ln|a| +ln|e|) +C


= (ae)^x/(ln|a| +1) +C

EJERCICIO 5.- INT| 6e^(3x) dx |

Un detalle a considerar es que si en algún problema encuentran la letra e elevada a una potencia constante, entonces ES UNA CONSTANTE, por lo tanto solo se extraen de la integral. Si al momento de comparar el diferencia y notas que te sobran variables, entonces la forma de solucionarla es mediante la Técnica de Integración: integración por partes; o buscar un despeje mediante las leyes de exponentes.

//Fórmula 7: 

INT| e^v dv |= e^v +C

INT| 6e^(3x) dx |

//Primero extraemos las constantes y después verificamos el diferencial.

=6 INT| e^(3x) dx |

//Obtenemos el diferencial.

v= 3x

dv/dx= d(3x)/dx= 3 :. dv= 3dx


=6/3 INT| e^(3x) 3dx |


=2e^(3x) +C

EJERCICIO 6.- INT| xe^(x^2) dx|

INT| xe^(x^2) dx|

v=x^2
dv/dx= d(x^2)/dx= 2x :. dv= 2xdx


= (1/2) INT| e^(x^2) 2xdx |


= (1/2) e^(x^2) +C

//Fin.

CÁLCULO INTEGRAL MEDIANTE FÓRMULAS 1-4 (3° PARTE)

Como última parte, ahora veremos cómo es que se utilizan estas fórmulas con el método visto en la parte 2, para los casos en que la integral tiene una función trigonométrica. Es obvio que se necesita conocer el procedimiento para derivar funciones trigonométricas (el cual no explicaré a detalle pero hay ejercicios resueltos en otras entradas si es que necesitan consultar) y los principios y teoremas que existen para sustituir o simplificar.

EJERCICIO 1.- INT| Sen^2(x)*Cos(x) dx |

//Principio utilizado para funciones trigonométricas elevadas a una potencia.

Sen^2(x)= [sen(x)]^2

INT| [Sen(x)]^2*Cos(x) dx |

//Aplico la fórmula 4 puesto que es una función elevada a una potencia.

v= Sen (x)

n= 2

dv/dx= d(Sen(x))/dx= Cos (x)   :.

dv= Cos (x)dx  //El diferencial está completo.

//Resuelvo la integral con la fórmula 4 por estar completo el diferencial.

=[Sen(x)]^2*[Cos(x) dx]

={[Sen(x)]^(2+1)}/(2+1)

={[Sen(x)]^(3)}/(3)

=Sen^3(x)/3 +C

EJERCICIO 2.- INT| Tan(x/2)*Sec^2(x/2) dx|

En este caso se puede utilizar la fórmula 4 tanto en la tangente como en la secante, la elección lo hará el diferencial, es decir, uno de estos complementa el diferencial del otro. 

Caso 1.-

v= tan(x/2)

n= 1

dv/dx= d[tan(x/2)]/dx= Sec ^2(x/2)*(1/2) :.

dv= (1/2)Sec ^2(x/2) dx

Caso 2.-

v= Sec(x/2)

n= 2

dv/dx= d[Sec(x/2)]/dx= (1/2)[Sec(x/2)*Tan(x/2)] :.

dv=(1/2)Sec(x/2)*Tan(x/2) dx

Con este paso comprobamos que se aplicará la fórmula 4 pero si tomamos a "v" como tan(x/2); el otro caso nos arroja un producto de una secante con una tangente, y si revisamos la integral tenemos la tangente, pero ya no hay otra secante pues la que existe fue tomada como "v". Por lo tanto, utilizaremos el primer caso. 

//Aplicando 4 para el caso 1, y completando con 1/2.

INT| Tan(x/2)*Sec^2(x/2) dx |

= 2 INT| Tan(x/2)*[(1/2)Sec^2(x/2) dx] |

= 2 {[Tan(x/2)]^(1+1)/(1+1)}

= 2 [Tan(x/2)]^2/2

= [Tan(x/2)]^2

= Tan^2(x/2) +C


EJERCICIO 3.- INT| Cos(ax)/√[b+sen(ax)] dx|


//Subimos el denominador al numerador a través de las leyes de los radicales y exponente.


Cos(ax)/√[b+sen(ax)]= Cos(ax)/(b+sen(ax))^(1/2)
= Cos(ax)(b+sen(ax))^(-1/2)

//Se integra ahora el nuevo diferencial aplicando la fórmula 4.


INT| Cos(ax)(b+sen(ax))^(-1/2) dx | 


v= b+sen(ax)
n=-1/2

dv/dx= d[b+sen(ax)]/dx= aCos(ax) :.
dv= aCos(ax) dx

//Continuamos con la integral completando con a.
=(1/a) INT| (b+sen(ax))^(-1/2)*[a Cos(ax)dx] |
=(1/a) {[(b+sen(ax))^(-1/2 +1)]/ (-1/2 +1)}
=(1/a) {[(b+sen(ax))^(1/2)]/ (1/2)}
=(2/a)[(b+sen(ax))^(1/2)
=2√(b+sen(ax))/a +C


//Fin

CÁLCULO INTEGRAL MEDIANTE FÓRMULAS 1-4 (2° PARTE)

Continuando con el tema publicado anteriormente, ahora se mostrará otro ejercicio que ejemplifica el casos en donde se pueden aplicar dos procedimientos de solución.

EJERCICIO 1. INT| √(ax) dx |

>>Una forma de resolver este problema es extrayendo la constante del radical utilizando ley de exponentes y radicales.

//Iniciando con álgebra.

INT| √(ax) dx |

=INT| (ax)^(1/2)dx |

=INT| (a)^(1/2) (x)^(1/2)dx |

//Continuamos con cálculo integral.

=(a)^(1/2) INT| (x)^(1/2)dx |

=(a)^(1/2) [(x)^(1/2+1)/(1/2 +1) ]  

//El siguiente paso es solo simplificar el resultado.

=(a)^(1/2) [(x)^(1/2+1)/(1/2 +1) ]  

=(a)^(1/2) [x*(x)^(1/2)/(3/2) ]

=x*(ax)^(1/2) x/(3/2)
=2x*(ax)^(1/2) /3 +C


>>La otra forma es la de revisar que el diferencial esté completo, el procedimiento que más se realiza para estos problemas.

INT| √(ax) dx |

=INT| (ax)^(1/2)dx |

//Paso 1.- Revisar qué fórmula tiene un parecido con su problema. En este caso es notable que tiene una relación directa con la 4.

INT |  (v^n)dv | = v^(n+1)/(n+1) +C

//Paso 2.- Igualar las constantes y variables de la fórmula con las del problema.

v=ax

n=1/2

//Paso 3.- Ya conociendo v, derivamos y despejamos para obtener el diferencial. En el caso de que dv=dx implica que el diferencial esta completa y se puede utilizar la fórmula como solución del problema.


v=ax

dv/dx=d(ax)/dx= a
dv/dx=a
dv=a dx

//Paso 4. En caso de que no se cumpla la condición indicada en el paso 3, entonces se recurre al álgebra  multiplicando o dividiendo, según sea el caso, al dx del problema por la constante que necesita; para no alterar la integral, de igual forma se le coloca un factor inverso (si se multiplica n a la dx, entonces se extrae un 1/n; si se divide por 1/n se extrae una n; si se multiplica por un -1 se extrae un -1) fuera de la integral. Después de esto, se procede a resolver la operación con la fórmula inicial.


INT| (ax)^(1/2)dx | ----> INT |  (v^n)dv | = v^(n+1)/(n+1) +C

v=ax
n=1/2
dv=adx


=(1/a)*INT| (ax)^(1/2)(a*dx) |

=(1/a)[ (ax)^(1/2+1)/(1/2+1) ]
=(1/a)(ax)(ax)^(1/2)/(3/2)
=(2/3)(ax/a)(ax)^(1/2)
=2x*(ax)^(1/2)/3 +C


//Nota: Si llega al paso tres y nota que el factor necesario para que este completo el diferencial NO ES UNA CONSTANTE, entonces en ese instante debe descartar la fórmula y buscar otra. Si aun así no encuentra una que se adecue a su problema, entonces recurra a las TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN.


//Fin

CÁLCULO INTEGRAL MEDIANTE FÓRMULAS 1-4

Como segunda parte del estudio de Cálculo de Una Variable, continuamos ahora con el Cálculo Integral. En esta clase de operaciones es de suma importancia dominar el álgebra, trigonometría, logaritmos y lógicamente, cálculo diferencial.

Nota: En este caso solo me enfocaré en los ejercicios y su solución, la explicación de su utilidad u origen le corresponderá a su instructor de taller o profesor de clase. 

Las primera fórmulas a utilizar son:

1. INT| du +dv -dw |= INT | du |  + INT | dv |  - INT | dw |
2. INT |  adv  | = a INT | dv |
3. INT |  dx  | = x + C
4. INT |  (v^n)dv | = v^(n+1)/(n+1) +C

Estas fórmulas se encuentran en el formulario utilizado en el Taller de Cálculo y de Técnicas de Integración.

EJERCICIO 1. INT |  (x+5)dx 

INT| (x+5)dx | 

=INT| xdx +5dx |                 //Desarrollando el producto.

=INT| xdx | + INT| 5dx |        //Separando con 1.

=INT| xdx| + 5 INT| dx |       //Extrayendo ctes con 2.

=[x^(1+1)/(1+1) +C + 5[x +C]   //Resolviendo con 4 y 3.

                             //Fin Calc. Integ., Inicio Alg.

=(x^2)/2 +C +5x +5C

=(x^2)/2  +5x +5C +C     //La suma de toda las ctes es una cte.

=(x^2)/2  +5x +C      //Por eso se representa con una sola C.

EJERCICIO 2. INT|[ (4x^2 -2x^(1/2))/x ]dx|

//Simplificando la división de un binomio entre un monomio.


(4x^2 -2x^(1/2))/x 
= 4x^2/x  -2x^(1/2)/x
= 4x^(2-1)  -2x^(1/2 -1)

= 4x^(1)  -2x^(-1/2)
= 4x  -2x^(-1/2)

El resultado anterior se utiliza para resolver la integral. Si se logra simplificar una función entonces su solución en la integración será sencilla, rápida y correcta. Este proceso de simplificar o modificar la función principal antes de integral se hace a través de Técnicas de Integración.


INT| [4x  -2x^(-1/2)]dx |


//Resolviendo con Cálculo Integral.
=INT| 4xdx  -2x^(-1/2)dx |
=INT| 4xdx | -INT|2x^(-1/2)dx |
=4 INT| xdx | -2 INT|x^(-1/2)dx |
=4[x^(1+1)/(1+1)] -2[x^(-1/2 +1)/(-1/2 +1)]

//Simplificando el resultado.
=4[x^(2)/2] -2[x^(1/2 )/(1/2)]
=(4/2)x^(2) -(2/(1/2))x^(1/2 )
=2x^(2) -(2/1/1/2)x^(1/2 )
=2x^(2) -(2*2/1*1)x^(1/2 )
=2x^(2) -(4/1)x^(1/2 )

//Solución.
=2x^(2) -4x^(1/2 ) +C



//Fin

CÁLCULO DIFERENCIAL, FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

Para concluir el apartado de CÁLCULO DIFERENCIAL, con esto ejemplificamos el procedimiento a realizar con las fórmulas DFT15-20. La siguiente etapa es mostrar la forma de utilizar las fórmulas para el CÁLCULO INTEGRAL y entrar en el procedimiento de TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN. Para aclara dudas, comentar aquí o en la página de Facebook TALLERES-DE-MATEMATICAS-UV.

DERIVADA DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DFT15-20

La siguiente y última parte a tratar en el taller sobre las derivadas, es la forma en como podemos utilizar las fórmulas DFT15-20 y el uso de algunas identidades trigonométrica.

Como en el caso de las funciones logarítmicas y exponenciales, es necesario tener presente la existencia de un argumento la cual no se puede manipular directamente con alguna operación elemental, sino que es necesario utilizar las identidades que tienen en el formulario. 

Otro dato a recordar, es que tanto estas como las anteriores fórmulas suelen no ocuparse directamente como las algebraicas sino que se aplican al final de desarrollar previamente derivadas algebraicas.

Nota: Para estos ejemplos ya no pondré la referencia sobre las fórmulas que utilicé del formulario en cada paso realizado.

a) FDT15: Dx[sen(u)]= cos(u)Dx(u)

y =sen(x^3)

y'=Dx[sen(x^3)] //Aplica FDT directamente
 =cos(x^3)Dx(x^3)
 =cos(x^3)(3x^2)

 =3x^2cos(x^3)


y =sen^3(x) =[sen(x)]^3

y'=3[sen(x)]^2Dx[sen(x)]  //Aplica FDT despues de
 =3sen^2(x)cos(x)Dx(x)  //utilizar FDA

 =3sen^2(x)cos(x)

b) FDT16: Dx[cos(u)]= -sen(u)Dx(u)

y =3cos(2x)

y'=Dx[3cos(2x)]
 =3Dx[cos(2x)]
 =3[-sen(2x)Dx(2x)]
 =3[-sen(2x){2Dx(x)}]
 =3[-sen(2x){2}]
 =-6sen(2x)

c) FDT17: Dx[tan(u)]=sec^2(u)Dx(u)

y = tan(x) - x

y´=Dx[tan(x) - x]
 =Dx[tan(x)] - Dx(x)
 =sec^2(x)Dx(x) - 1
 =sec^2(x) - 1 //ID. PITAGORICAS

 =tan^2(x)

d) FDT18: Dx[cot(u)]=-csc^2(u)Dx(u)

y =1/tan(x-1) =cot(x-1) //ID. RECIPROCAS

y'=Dx[cot(x-1)]
 =-csc^2(x-1)Dx(x-1)
 =-csc^2(x-1)[Dx(x)-Dx(1)]
 =-csc^2(x-1)[1-0]

 =-csc^2(x-1)

e)FDT19: Dx[sec(u)]=sec(u)tan(u)Dx(u)

y =sec^2(x) - 1

y´=Dx{[sec(x)]^2} - Dx(1)
 =2sec(x)Dx[sec(x)] - 0
 =2sec(x)[sec(x)tan(x)Dx(x)]

 =2sec^2(x)tan(x)

aunque tambien: sec^2(x) - 1 =tan^2(x) //IDENTIDAD PITAGORICA

y= tan^2(x)

y'=Dx[{tan(x)}^2]
 =2tan(x)Dx[tan(x)]
 =2tan(x)[sec^2(x)Dx(x)]

 =2sec^2(x)tan(x)

NOTA: 2sec^2(x)tan(x) = sen(x)/cos^3(x)


f)FDT20: Dx[csc(u)]=-csc(u)cot(u)Dx(u)

y= csc(ln|x|)

y'=Dx[csc(ln|x|)]
 =-csc(ln|x|)cot(ln|x|)Dx(ln|x|)
 =-csc(ln|x|)cot(ln|x|)[1/x Dx(x)]

 =-csc(ln|x|)cot(ln|x|)/x


//FIN

CÁLCULO DIFERENCIAL, FUNCIONES ALGEBRAICAS III

En el tema anterior se trató de funciones exponenciales y logarítmicas; ahora muestro un procedimiento para una función algebraica de productos entre variables como un previo a las funciones trigonométricas.

PRODUCTO ENTRE VARIABLES

y = (6x^3 - 1)(2x^2-1)^(1/3)

1.- Derivamos ambas partes:

Dx(y)=y'=Dx[(6x^3 - 1)(2x^2-1)^(1/3)] //DFA8

2.- Como se notará, la parte derecha del segundo igual indica que hay un producto donde interviene una variable, en esta caso x, y que no es posible separar. Recurrimos a la fórmula 8:

Dx(uv)= uDx(v) + vDx(u)

3.- Antes de aplicar la fórmula, es necesario determinar cuál será el témino u y cual el v; como es un producto, no importa la elección solo no se debe olvidar. Para mi caso:

u=(6x^3 - 1)
v=(2x^2-1)^(1/3)

4.- Como recomendación, se realiza la derivación por separado de cada término, y al final se sustituye en la fórmula; esto se debe hacer cuando apenas estamos iniciando en esto de la derivación, ya que un diminuto error no sería fácil de corregir al tener tantas operaciones en una hoja:

TERMINO DERIVADA

u=(6x^3 - 1) Dx(u) = Dx(6x^3 - 1)
Dx(6x^3) - Dx(1) //DFA6
6Dx(x^3) - 0 //DFA1,4
6[3x^2] - 0 //DFA3
=18x^2

v=(2x^2-1)^(1/3) Dx(v) = Dx(2x^2-1)^(1/3)
1/[3(2x^2-1)^(2/3)] Dx(2x^2-1) //DFA7.b
1/[3(2x^2-1)^(2/3)] [Dx(2x^2)-Dx(1)] //DFA6
1/[3(2x^2-1)^(2/3)] [2Dx(x^2)-0] //DFA4,1
1/[3(2x^2-1)^(2/3)] [2(2x)-0] //DFA3
=(4x)/[3(2x^2-1)^(2/3)]

5.- Finalmente, sustituimos en la DFA8:

y'= [(6x^3 - 1)(4x)]/[3(2x^2-1)^(2/3)] + (2x^2-1)^(1/3)(18x^2)

6.- Por medio del álgebra se llega al siguiente resultado:

y'=2x(66x^3-27x-2)/3(2x^2-1)^(2/3) 


//FIN

CALCULO DIFERENCIAL, FUNCIONES EXP. Y LOG.

Continuando con los ejercicios de cálculo diferencial, recordaremos  el procedimiento para resolver problemas relacionados con funciones exponenciales y logaritmos. Aprovecho para comentar que la única forma de poder intuir la fórmula a utilizar, es necesario que practiquen ("El error hace al maestro").

DERIVADAS DE EXPONENTES Y LOGARITMOS.

En este apartado se explica el uso de las fórmulas DFEL10-14, para uso exclusivo de funciones logarítmicas y exponenciales.

a) DFEL1O, LOGARITMO.

Esta fórmula se utiliza para resolver problemas donde intervenga el logaritmo. 

Dx(log u)=[(log e)/u]Dx(u)

Nótese que para estas funciones, el logaritmo tiene un argumento log(u) y el cual no puede ser modificado a menos que se utilicen fórmulas que permitan esto (Vease del formulario FEYL). Otro dato es que la literal "e" se toma en este caso como una constante y que es  el argumento; es común que cuando el argumento solo es un monomio no se coloca entre paréntesis, sin embargo, solo no lo pondré en la fórmula pero en los demás casos lo ocuparé para que no se confunda.

Ejemplifiquemos con la siguiente función:

y = 6x^2*log (2x)

y'= Dx[6x^2*log (2x)]
  = 6x^2Dx[log (2x)] + log (2x)Dx[6x^2] //DFA8
  = 6x^2[{(log e)/2x}Dx(2x)] + log (2x)(12x)  //DFEL10, DFA4,3
  = 6x^2[{(log e)/2x}(2)] + log (2x)(12x) //DFA4,1

  = 12x^2*log e/2X + 12x*log(2x)
  = 6x*log e + 12x*log(2x)
  = 6x[log e + 2log(2x)]
  = 6x[log e + log(2x)^2] //FEYL3
  = 6x[log(4ex^2)] //FEYL1

  = 6xlog(4ex^2)

b) DFEL11, LOGARITMO NATURAL O NEPERIANO.

Como en el logaritmo, el logaritmo natural tiene un argumento y se debe respetar o podremos modificarlo utilizando las fórmulas FEYL.

Dx(Ln|u|) = Dx(u)/u

y = ln^3|x|
  = (ln|x|)^3 //FEYL5

y'= Dx[(ln|x|)^3]
  = 3(ln|x|)^2Dx(ln|x|)       //DFA7
  = 3(ln|x|)^2[Dx(x)/x]      //DFEL11
  = 3(ln|x|)^2[1/x]      //DFA2

  = 3ln^2|x|/x

c) DFEL12, UNA CONSTANTE ELEVADA A LA POTENCIA VARIABLE.

Las siguientes fórmulas se utilizan para cuando nos referimos a potencias variables; en este caso tenemos que una constante es elevada a una potencia que es variable.

Dx(a^u) = a^u Ln|a|Dx(u)


y = 10^(nx)

y'= Dx[10^(nx)]
  = 10^(nx) Ln|10| Dx(nx) //DFEL12
  = 10^(nx) Ln|10| (n) //DFA4,1

  = 10^(nx)nLn|10|


d) DFEL13

Esta fórmula es utilizada cuando tenemos a la "e" elevada a una potencia variable, sino se considera como una constante.

Dx(e^u) = e^u Dx(u)

y = 2/e^x = 2e^(-x)

y'= Dx[2e^(-x)]
  = 2Dx[e^(-x)] //DFA4
  = 2[e^(-x) Dx(-x)] //DFEL13
  = 2[e^(-x)(-1)] //DFA2

  = - 2/e^x

e) DFE14

La última función es ocupada cuando una variable es elevada a una potencia variable.

Se recomienda realizar anticipadamente las operaciones y después sustituir en la derivada principal.

Dx(v^u) = uv^(u-1) Dx(v) + v^u Ln|v|Dx(u)


y = x^(2x)

v=x Dx(v)=Dx(x)=1   //DFA2

u=2x Dx(u)=Dx(2x)=2  //DFA4,2


y'= Dx[x^(2x)]
y'= 2x[x^(2x-1)](1) + x^(2x) Ln|x| (2) //DFEL14
y'= 2x^(2x) + 2x^(2x)Ln|x|

y'=2x^(2x)[1 + Ln|x|]




//FIN

CÁLCULO DIFERENCIAL, FUNCIONES ALGEBRAICAS II

Como dice la nota del ejercicio anterior, hay otra forma de resolver el mismo problema. Es de vital importancia que dominen el álgebra para poder resolver problemas de cálculo. La única forma para dominar estas materias es PRACTICANDO. No olviden comentar si tienen dudas.

DERIVADA DE UNA DIVISIÓN DE VARIABLES II

Ahora se ha de resolver el mismo problema, pero primero se trata de simplificar y después se aplican las fórmulas de cálculo ya conocidas.

DERIVAR LA SIGUIENTE FUNCIÓN.

y= (6x^3-2x)/2x^3

b) Aplicando algebra.

1.- Separamos el numerador:

y= 6x^3/2x^3 - 2x/2x^3

2.- Realizamos las divisiones, en este caso de monomio-monomio:

y= 3 - 1/x^2

3.- En mi caso, y como no me agrada trabajar con divisiones, utilizo AE5 y subo el denominador con exponente negativo:

y= 3 - x^(-2)

4.- Ahora aplico CALCULO DIFERENCIAL:

y= 3 - x^(-2)

y'=Dx[3 - x^(-2)]
 =Dx(3) - Dx[x^(-2)] //DFA6
 = 0- [-2x^(-3)] //DFA1,3
 = 2x^(-3)
 = 2/x^3

Todo depende de la habilidad matemática y de la facilidad con que pueden manipular una función; mismo resultado pero con menos ejercicio manual.

//FIN

CÁLCULO DIFERENCIAL, FUNCIONES ALGEBRAICAS

Para todos aquellos que estén estudiando cálculo-derivadas, les  muestro uno de los primero ejercicios publicados en la página de FACEBOOK. Recuerden comentar sus dudas o de algún error que tenga este ejercicio.

DERIVADA DE UNA DIVISIÓN DE VARIABLES.

La última fórmula para derivar funciones que son una división de variables, es la siguiente:

Dx(u/v)=[vDx(u)-uDx(v)]/v^2 //DFA9

como he comentado en el taller, siempre debemos buscar la función más sencilla para derivar; es decir, hay que reducir la división con álgebra para entonces, aplicar la fórmula y continuar con los demás pasos que dictamina el cálculo diferencial.

DERIVAR LA SIGUIENTE FUNCIÓN.

          y= (6x^3-2x)/2x^3

a) Resolviendo con la fórmula DFA9

1.- Primero se debe definir cual será nuestra u y cual nuestra v; en este caso sí importa cual es cual, pues ocasionara desastres si elegimos mal. Todo lo que este en el numerador será u y lo del denominador será v:

u = 6x^3-2x

v = 2x^3

2.- Como en la fórmula DFA8, se realizan por separado las derivaciones y al final se agrupan 

en una sola.

u = 6x^3-2x

        Dx(u) = Dx(6x^3-2x)

                Dx(6x^3)-Dx(2x)        //DFA6

                6Dx(x^3)-2Dx(x)       //DFA4

                6(3x^2)-2(1)       //DFA3,1

              = 18x^2 - 2

        v = 2x^3

        Dx(v) = Dx(2x^3)

                2Dx(x^3)        //DFA4

                2(3x^2)     //DFA3

              = 6x^2

3.- Se sustituye en la fórmula DFA9 y se simplifica con álgebra.

y= (6x^3-2x)/2x^3

Aplicando

     Dx(u/v)=[vDx(u)-uDx(v)]/v^2 //DFA9

y'= Dx[(6x^3-2x)/2x^3]

y' = [2x^3(18x^2 - 2) - (6x^3-2x)(6x^2)]/(2x^3)^2

  = [36x^5 - 4x^3 - 36x^5 + 12x^3]/4x^6

  = 8x^3/4x^6

  = 2x^(-3)

  = 2/x^3

4.- Este es un simple ejemplo, que tiene otra solución sencilla pero necesita del álgebra.

//FIN   

INICIANDO

Como apoyo de la página en FACEBOOK TALLERES DE MATEMÁTICAS UV iniciamos esta para seguir publicando soluciones y consejos o sugerencias a ejercicios tratados en los talleres tales como Álgebra, Cálculo Diferencial, Cálculo Integral y Técnicas de Integración.

Cabe recordar que estos talleres son hechos con la finalidad de ayudar a los estudiantes de la Facultad de Ingeniería de la Universidad Veracruzana, en Boca del Río-Veracruz; a través de otros estudiantes de grados avanzados.