MANUAL DE LAPLACE

Mientras inician los Talleres de Matemáticas, les dejo la dirección donde pueden descargar el Manual de Laplace, el cual se utilizará para el Taller de Laplace.

El temario del taller ya está publicado en el apartado de "Temario" de esta página, para que se enteren de qué tratará.

Estén al pendiente de la página en Facebook para que se enteren de la convocatoria de los talleres.

Pronto seguiré publicando ejercicios de Integrales.

ManualLaplaceDescarga

Si tienen dudas o algún comentario, escriban en las líneas abajo de esta entrada.

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CÁLCULO INTEGRAL MEDIANTE FÓRMULAS 8-17 (TRIGONOMÉTRICAS, PARTE 1)

Ya faltando 4 entregas para finalizar la parte de Cálculo Integral, les muestro los casos para Func. Trigonométricas a través de 10 fórmulas (8-17). En esta primera parte tratamos del 8 al 12. En estos ejemplos se analizan casos donde se encuentran sólo la función; en caso de encontrarla como un producto, su solución puede ser mediante técnicas de integración como lo vimos en la entrada anterior (por ejem: e^x Sen(x)), o porque es complemento de la integral y solo deben ocupar la fórmula 4.

EJERCICIO 1.- INT| x Sen(x^2)dx |

De igual forma que en los ejercicios anteriores, solo se necesita comprobar que la fórmula tenga completa su parte de derivada, es decir, que esté completo el diferencial. Como podrán notar la variable se encuentra en el argumento y si se encuentra un producto, eso quiere decir que el otro factor puede ser parte del diferencial. Y nunca olviden que las funciones trigonométricas deben estar siempre acompañadas del argumento, es una aberración poner solo SEN, COS, etc. 

//Fórmula 8: 

INT| Sen(v)dv |= -Cos(v) +C

v= x^2

dv/dx= d(x^2)/dx= 2x :. dv= 2xdx

(1/2)INT| Sen(x^2) 2xdx |

=(1/2)[-Cos (x^2)] +C

= -Cos(x^2)/2 +C

EJERCICIO 2.- INT| Cos(ln|x|)/x dx |

//Fórmula 9: 

INT| Cos(v)dv |= Sen(v) +C

v= ln|x|

dv/dx= d(ln|x|)/dx= 1/x :. dv= dx/x

INT| Cos(ln|x|) dx/x |

=Sen( ln(x) ) +C

EJERCICIO 3.- INT| dx/Cos^2(x) |

//Fórmula 10: 

INT| Sec^2(v) |= Tan|v| +C

//Un paso previo a la integración

1/cos^2(x)= 1^2/[cos(x)]^2 = [1/cos(x)]^2

Si 1/Cos(x)= Sec(x):. 

[1/cos(x)]^2= [Sec(x)]^2= Sec^2(x)

Entonces,

//Integremos

INT| Sec^2(x)dx |

v= x

dv/dx= d(x)/dx= 1 :. dv=dx 

= Tan(x) +C

EJERCICIO 4.- INT| Csc^2(3x) dx |

//Fórmula 11: 

INT| Csc^2(v) |= -Cot|v| +C

v= 3x

dv/dx= d(3x)/dx= 3 :. dv= 3dx

 (1/3)INT| Csc^2(3x) 3dx |

= -Cot(3x)/3 +C

EJERCICIO 5.- INT| Sec(t/3) Tan(t/3) dt |

//Fórmula 12: 

INT| Sec(v)Tan(v) |= Sec|v| +C

v= t/3

dv/dt= d(t/3)/dt= 1/3 :. dv= dt/3

(3)INT| Sec(t/3) Tan(t/3) dt/3 |

= 3 Sec(t/3) +C

//Fin.

Si tienen dudas, pueden dejar sus comentarios o seguirme en Twitter @Edno_Sam o en Facebook /TALLERES DE MATEMATICAS UV.

CÁLCULO INTEGRAL MEDIANTE FÓRMULAS 5-7 (EXP. Y LOG.)

Continuando con la Integración a través de fórmulas, en esta entrada se tratará la utilidad de las fórmulas 5, 6 y 7 cuando el problema trata una variable exponencial o logaritmo. En cada caso comentaré algunos casos que se pueden presentar.

EJERCICIO 1.- INT| (2x+3)/(x^2+3x) dx |

La primera fórmula es la 5 y trata sobre la solución de integrales tipo fracción. Si recuerdan en los trabajos anteriores, cuando tenemos una fracción lo que se hacia era subir el denominador al numerador con ayuda de la ley de exponentes 5 (revisar formulario), de tal forma que visualmente parecía una forma directa de solución con la fórmula 4 (para aclarar esto, ver entradas anteriores). No obstante puede resultar que el numerador es un complemento del diferencial, entonces si realizan primero verlo como la fórmula 4 y aun les sobran variables, entonces recurran a la 5. Como advertencia, recuerden que la fórmula 4 tiene una restricción y esta es que el exponente n debe ser diferente de -1 ya que de no ser así, el valor final sería 1 (x^0) y eso no es correcto.

//Fórmula 5: 

INT| dv/v |= ln|v| +C

INT| (2x+3)/(x^2+3x) dx |

v=x^2+3x

dv/dx= d(x^2+3x)/dx =2x +3 :. dv=(2x +3)dx

//Como dv está completa, utilizamos directamente la fórmula como solución.

=ln| x^2 +3x | +C

EJERCICIO 2.- INT| sec^2(y)/(a+b tg(y)) dy |

Este problema tiene la misma solución que el problema 1. Lo único que queda por aclarar es que la solución de fracciones con fórmula solo se tiene la 5 y las del 18 al 21; caso contrario, se deben utilizar Técnicas de Integración para encontrar una solución. 

INT| sec^2(y)/(a+b tg(y)) dy |

v= a+b tg(y)

dv/dy= d(a+b tg(y)) =b sec^2(y) :. dv= b sec^2(y) dy

= (1/b) INT| sec^2(y)(b dy)/(a+b tg(y)) |

=ln| a+b tg(y) | /b +C

EJERCICIO 3.- INT| a^(2x) dx |


La fórmula a tratar es la 6 y es sobre la integración de constantes con exponentes variables. Con respecto a ln|v| esta no es una fórmula directa sino que se obtiene mediante Integración por Partes.

//Fórmula 6: 

INT| a^v dv |= a^v/ln|a| +C

 INT| a^(2x) dx |

v=2x
dv/dx= d(2x)/dx= 2 :. dv= 2dx


= (1/2) INT| a^(2x) 2dx |
= (1/2) [ a^(2x)/ln|a| ] +C
= [ a^(2x)/2ln|a| ] +C


= [ a^(2x)/ln|a^2| ] +C

EJERCICIO 4.- INT| a^x e^x dx |


INT| a^x e^x dx |
= INT| (ae)^x dx |

v= x
dv/dx= dx/dx= 1 :. dv=dx


= (ae)^x/ln|ae| +C
= (ae)^x/(ln|a| +ln|e|) +C


= (ae)^x/(ln|a| +1) +C

EJERCICIO 5.- INT| 6e^(3x) dx |

Un detalle a considerar es que si en algún problema encuentran la letra e elevada a una potencia constante, entonces ES UNA CONSTANTE, por lo tanto solo se extraen de la integral. Si al momento de comparar el diferencia y notas que te sobran variables, entonces la forma de solucionarla es mediante la Técnica de Integración: integración por partes; o buscar un despeje mediante las leyes de exponentes.

//Fórmula 7: 

INT| e^v dv |= e^v +C

INT| 6e^(3x) dx |

//Primero extraemos las constantes y después verificamos el diferencial.

=6 INT| e^(3x) dx |

//Obtenemos el diferencial.

v= 3x

dv/dx= d(3x)/dx= 3 :. dv= 3dx


=6/3 INT| e^(3x) 3dx |


=2e^(3x) +C

EJERCICIO 6.- INT| xe^(x^2) dx|

INT| xe^(x^2) dx|

v=x^2
dv/dx= d(x^2)/dx= 2x :. dv= 2xdx


= (1/2) INT| e^(x^2) 2xdx |


= (1/2) e^(x^2) +C

//Fin.

CÁLCULO INTEGRAL MEDIANTE FÓRMULAS 1-4 (3° PARTE)

Como última parte, ahora veremos cómo es que se utilizan estas fórmulas con el método visto en la parte 2, para los casos en que la integral tiene una función trigonométrica. Es obvio que se necesita conocer el procedimiento para derivar funciones trigonométricas (el cual no explicaré a detalle pero hay ejercicios resueltos en otras entradas si es que necesitan consultar) y los principios y teoremas que existen para sustituir o simplificar.

EJERCICIO 1.- INT| Sen^2(x)*Cos(x) dx |

//Principio utilizado para funciones trigonométricas elevadas a una potencia.

Sen^2(x)= [sen(x)]^2

INT| [Sen(x)]^2*Cos(x) dx |

//Aplico la fórmula 4 puesto que es una función elevada a una potencia.

v= Sen (x)

n= 2

dv/dx= d(Sen(x))/dx= Cos (x)   :.

dv= Cos (x)dx  //El diferencial está completo.

//Resuelvo la integral con la fórmula 4 por estar completo el diferencial.

=[Sen(x)]^2*[Cos(x) dx]

={[Sen(x)]^(2+1)}/(2+1)

={[Sen(x)]^(3)}/(3)

=Sen^3(x)/3 +C

EJERCICIO 2.- INT| Tan(x/2)*Sec^2(x/2) dx|

En este caso se puede utilizar la fórmula 4 tanto en la tangente como en la secante, la elección lo hará el diferencial, es decir, uno de estos complementa el diferencial del otro. 

Caso 1.-

v= tan(x/2)

n= 1

dv/dx= d[tan(x/2)]/dx= Sec ^2(x/2)*(1/2) :.

dv= (1/2)Sec ^2(x/2) dx

Caso 2.-

v= Sec(x/2)

n= 2

dv/dx= d[Sec(x/2)]/dx= (1/2)[Sec(x/2)*Tan(x/2)] :.

dv=(1/2)Sec(x/2)*Tan(x/2) dx

Con este paso comprobamos que se aplicará la fórmula 4 pero si tomamos a "v" como tan(x/2); el otro caso nos arroja un producto de una secante con una tangente, y si revisamos la integral tenemos la tangente, pero ya no hay otra secante pues la que existe fue tomada como "v". Por lo tanto, utilizaremos el primer caso. 

//Aplicando 4 para el caso 1, y completando con 1/2.

INT| Tan(x/2)*Sec^2(x/2) dx |

= 2 INT| Tan(x/2)*[(1/2)Sec^2(x/2) dx] |

= 2 {[Tan(x/2)]^(1+1)/(1+1)}

= 2 [Tan(x/2)]^2/2

= [Tan(x/2)]^2

= Tan^2(x/2) +C


EJERCICIO 3.- INT| Cos(ax)/√[b+sen(ax)] dx|


//Subimos el denominador al numerador a través de las leyes de los radicales y exponente.


Cos(ax)/√[b+sen(ax)]= Cos(ax)/(b+sen(ax))^(1/2)
= Cos(ax)(b+sen(ax))^(-1/2)

//Se integra ahora el nuevo diferencial aplicando la fórmula 4.


INT| Cos(ax)(b+sen(ax))^(-1/2) dx | 


v= b+sen(ax)
n=-1/2

dv/dx= d[b+sen(ax)]/dx= aCos(ax) :.
dv= aCos(ax) dx

//Continuamos con la integral completando con a.
=(1/a) INT| (b+sen(ax))^(-1/2)*[a Cos(ax)dx] |
=(1/a) {[(b+sen(ax))^(-1/2 +1)]/ (-1/2 +1)}
=(1/a) {[(b+sen(ax))^(1/2)]/ (1/2)}
=(2/a)[(b+sen(ax))^(1/2)
=2√(b+sen(ax))/a +C


//Fin

CÁLCULO INTEGRAL MEDIANTE FÓRMULAS 1-4 (2° PARTE)

Continuando con el tema publicado anteriormente, ahora se mostrará otro ejercicio que ejemplifica el casos en donde se pueden aplicar dos procedimientos de solución.

EJERCICIO 1. INT| √(ax) dx |

>>Una forma de resolver este problema es extrayendo la constante del radical utilizando ley de exponentes y radicales.

//Iniciando con álgebra.

INT| √(ax) dx |

=INT| (ax)^(1/2)dx |

=INT| (a)^(1/2) (x)^(1/2)dx |

//Continuamos con cálculo integral.

=(a)^(1/2) INT| (x)^(1/2)dx |

=(a)^(1/2) [(x)^(1/2+1)/(1/2 +1) ]  

//El siguiente paso es solo simplificar el resultado.

=(a)^(1/2) [(x)^(1/2+1)/(1/2 +1) ]  

=(a)^(1/2) [x*(x)^(1/2)/(3/2) ]

=x*(ax)^(1/2) x/(3/2)
=2x*(ax)^(1/2) /3 +C


>>La otra forma es la de revisar que el diferencial esté completo, el procedimiento que más se realiza para estos problemas.

INT| √(ax) dx |

=INT| (ax)^(1/2)dx |

//Paso 1.- Revisar qué fórmula tiene un parecido con su problema. En este caso es notable que tiene una relación directa con la 4.

INT |  (v^n)dv | = v^(n+1)/(n+1) +C

//Paso 2.- Igualar las constantes y variables de la fórmula con las del problema.

v=ax

n=1/2

//Paso 3.- Ya conociendo v, derivamos y despejamos para obtener el diferencial. En el caso de que dv=dx implica que el diferencial esta completa y se puede utilizar la fórmula como solución del problema.


v=ax

dv/dx=d(ax)/dx= a
dv/dx=a
dv=a dx

//Paso 4. En caso de que no se cumpla la condición indicada en el paso 3, entonces se recurre al álgebra  multiplicando o dividiendo, según sea el caso, al dx del problema por la constante que necesita; para no alterar la integral, de igual forma se le coloca un factor inverso (si se multiplica n a la dx, entonces se extrae un 1/n; si se divide por 1/n se extrae una n; si se multiplica por un -1 se extrae un -1) fuera de la integral. Después de esto, se procede a resolver la operación con la fórmula inicial.


INT| (ax)^(1/2)dx | ----> INT |  (v^n)dv | = v^(n+1)/(n+1) +C

v=ax
n=1/2
dv=adx


=(1/a)*INT| (ax)^(1/2)(a*dx) |

=(1/a)[ (ax)^(1/2+1)/(1/2+1) ]
=(1/a)(ax)(ax)^(1/2)/(3/2)
=(2/3)(ax/a)(ax)^(1/2)
=2x*(ax)^(1/2)/3 +C


//Nota: Si llega al paso tres y nota que el factor necesario para que este completo el diferencial NO ES UNA CONSTANTE, entonces en ese instante debe descartar la fórmula y buscar otra. Si aun así no encuentra una que se adecue a su problema, entonces recurra a las TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN.


//Fin

CÁLCULO INTEGRAL MEDIANTE FÓRMULAS 1-4

Como segunda parte del estudio de Cálculo de Una Variable, continuamos ahora con el Cálculo Integral. En esta clase de operaciones es de suma importancia dominar el álgebra, trigonometría, logaritmos y lógicamente, cálculo diferencial.

Nota: En este caso solo me enfocaré en los ejercicios y su solución, la explicación de su utilidad u origen le corresponderá a su instructor de taller o profesor de clase. 

Las primera fórmulas a utilizar son:

1. INT| du +dv -dw |= INT | du |  + INT | dv |  - INT | dw |
2. INT |  adv  | = a INT | dv |
3. INT |  dx  | = x + C
4. INT |  (v^n)dv | = v^(n+1)/(n+1) +C

Estas fórmulas se encuentran en el formulario utilizado en el Taller de Cálculo y de Técnicas de Integración.

EJERCICIO 1. INT |  (x+5)dx 

INT| (x+5)dx | 

=INT| xdx +5dx |                 //Desarrollando el producto.

=INT| xdx | + INT| 5dx |        //Separando con 1.

=INT| xdx| + 5 INT| dx |       //Extrayendo ctes con 2.

=[x^(1+1)/(1+1) +C + 5[x +C]   //Resolviendo con 4 y 3.

                             //Fin Calc. Integ., Inicio Alg.

=(x^2)/2 +C +5x +5C

=(x^2)/2  +5x +5C +C     //La suma de toda las ctes es una cte.

=(x^2)/2  +5x +C      //Por eso se representa con una sola C.

EJERCICIO 2. INT|[ (4x^2 -2x^(1/2))/x ]dx|

//Simplificando la división de un binomio entre un monomio.


(4x^2 -2x^(1/2))/x 
= 4x^2/x  -2x^(1/2)/x
= 4x^(2-1)  -2x^(1/2 -1)

= 4x^(1)  -2x^(-1/2)
= 4x  -2x^(-1/2)

El resultado anterior se utiliza para resolver la integral. Si se logra simplificar una función entonces su solución en la integración será sencilla, rápida y correcta. Este proceso de simplificar o modificar la función principal antes de integral se hace a través de Técnicas de Integración.


INT| [4x  -2x^(-1/2)]dx |


//Resolviendo con Cálculo Integral.
=INT| 4xdx  -2x^(-1/2)dx |
=INT| 4xdx | -INT|2x^(-1/2)dx |
=4 INT| xdx | -2 INT|x^(-1/2)dx |
=4[x^(1+1)/(1+1)] -2[x^(-1/2 +1)/(-1/2 +1)]

//Simplificando el resultado.
=4[x^(2)/2] -2[x^(1/2 )/(1/2)]
=(4/2)x^(2) -(2/(1/2))x^(1/2 )
=2x^(2) -(2/1/1/2)x^(1/2 )
=2x^(2) -(2*2/1*1)x^(1/2 )
=2x^(2) -(4/1)x^(1/2 )

//Solución.
=2x^(2) -4x^(1/2 ) +C



//Fin

CÁLCULO DIFERENCIAL, FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

Para concluir el apartado de CÁLCULO DIFERENCIAL, con esto ejemplificamos el procedimiento a realizar con las fórmulas DFT15-20. La siguiente etapa es mostrar la forma de utilizar las fórmulas para el CÁLCULO INTEGRAL y entrar en el procedimiento de TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN. Para aclara dudas, comentar aquí o en la página de Facebook TALLERES-DE-MATEMATICAS-UV.

DERIVADA DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DFT15-20

La siguiente y última parte a tratar en el taller sobre las derivadas, es la forma en como podemos utilizar las fórmulas DFT15-20 y el uso de algunas identidades trigonométrica.

Como en el caso de las funciones logarítmicas y exponenciales, es necesario tener presente la existencia de un argumento la cual no se puede manipular directamente con alguna operación elemental, sino que es necesario utilizar las identidades que tienen en el formulario. 

Otro dato a recordar, es que tanto estas como las anteriores fórmulas suelen no ocuparse directamente como las algebraicas sino que se aplican al final de desarrollar previamente derivadas algebraicas.

Nota: Para estos ejemplos ya no pondré la referencia sobre las fórmulas que utilicé del formulario en cada paso realizado.

a) FDT15: Dx[sen(u)]= cos(u)Dx(u)

y =sen(x^3)

y'=Dx[sen(x^3)] //Aplica FDT directamente
 =cos(x^3)Dx(x^3)
 =cos(x^3)(3x^2)

 =3x^2cos(x^3)


y =sen^3(x) =[sen(x)]^3

y'=3[sen(x)]^2Dx[sen(x)]  //Aplica FDT despues de
 =3sen^2(x)cos(x)Dx(x)  //utilizar FDA

 =3sen^2(x)cos(x)

b) FDT16: Dx[cos(u)]= -sen(u)Dx(u)

y =3cos(2x)

y'=Dx[3cos(2x)]
 =3Dx[cos(2x)]
 =3[-sen(2x)Dx(2x)]
 =3[-sen(2x){2Dx(x)}]
 =3[-sen(2x){2}]
 =-6sen(2x)

c) FDT17: Dx[tan(u)]=sec^2(u)Dx(u)

y = tan(x) - x

y´=Dx[tan(x) - x]
 =Dx[tan(x)] - Dx(x)
 =sec^2(x)Dx(x) - 1
 =sec^2(x) - 1 //ID. PITAGORICAS

 =tan^2(x)

d) FDT18: Dx[cot(u)]=-csc^2(u)Dx(u)

y =1/tan(x-1) =cot(x-1) //ID. RECIPROCAS

y'=Dx[cot(x-1)]
 =-csc^2(x-1)Dx(x-1)
 =-csc^2(x-1)[Dx(x)-Dx(1)]
 =-csc^2(x-1)[1-0]

 =-csc^2(x-1)

e)FDT19: Dx[sec(u)]=sec(u)tan(u)Dx(u)

y =sec^2(x) - 1

y´=Dx{[sec(x)]^2} - Dx(1)
 =2sec(x)Dx[sec(x)] - 0
 =2sec(x)[sec(x)tan(x)Dx(x)]

 =2sec^2(x)tan(x)

aunque tambien: sec^2(x) - 1 =tan^2(x) //IDENTIDAD PITAGORICA

y= tan^2(x)

y'=Dx[{tan(x)}^2]
 =2tan(x)Dx[tan(x)]
 =2tan(x)[sec^2(x)Dx(x)]

 =2sec^2(x)tan(x)

NOTA: 2sec^2(x)tan(x) = sen(x)/cos^3(x)


f)FDT20: Dx[csc(u)]=-csc(u)cot(u)Dx(u)

y= csc(ln|x|)

y'=Dx[csc(ln|x|)]
 =-csc(ln|x|)cot(ln|x|)Dx(ln|x|)
 =-csc(ln|x|)cot(ln|x|)[1/x Dx(x)]

 =-csc(ln|x|)cot(ln|x|)/x


//FIN