CÁLCULO INTEGRAL MEDIANTE FÓRMULAS 1-4 (3° PARTE)

Como última parte, ahora veremos cómo es que se utilizan estas fórmulas con el método visto en la parte 2, para los casos en que la integral tiene una función trigonométrica. Es obvio que se necesita conocer el procedimiento para derivar funciones trigonométricas (el cual no explicaré a detalle pero hay ejercicios resueltos en otras entradas si es que necesitan consultar) y los principios y teoremas que existen para sustituir o simplificar.

EJERCICIO 1.- INT| Sen^2(x)*Cos(x) dx |

//Principio utilizado para funciones trigonométricas elevadas a una potencia.

Sen^2(x)= [sen(x)]^2

INT| [Sen(x)]^2*Cos(x) dx |

//Aplico la fórmula 4 puesto que es una función elevada a una potencia.

v= Sen (x)

n= 2

dv/dx= d(Sen(x))/dx= Cos (x)   :.

dv= Cos (x)dx  //El diferencial está completo.

//Resuelvo la integral con la fórmula 4 por estar completo el diferencial.

=[Sen(x)]^2*[Cos(x) dx]

={[Sen(x)]^(2+1)}/(2+1)

={[Sen(x)]^(3)}/(3)

=Sen^3(x)/3 +C

EJERCICIO 2.- INT| Tan(x/2)*Sec^2(x/2) dx|

En este caso se puede utilizar la fórmula 4 tanto en la tangente como en la secante, la elección lo hará el diferencial, es decir, uno de estos complementa el diferencial del otro. 

Caso 1.-

v= tan(x/2)

n= 1

dv/dx= d[tan(x/2)]/dx= Sec ^2(x/2)*(1/2) :.

dv= (1/2)Sec ^2(x/2) dx

Caso 2.-

v= Sec(x/2)

n= 2

dv/dx= d[Sec(x/2)]/dx= (1/2)[Sec(x/2)*Tan(x/2)] :.

dv=(1/2)Sec(x/2)*Tan(x/2) dx

Con este paso comprobamos que se aplicará la fórmula 4 pero si tomamos a "v" como tan(x/2); el otro caso nos arroja un producto de una secante con una tangente, y si revisamos la integral tenemos la tangente, pero ya no hay otra secante pues la que existe fue tomada como "v". Por lo tanto, utilizaremos el primer caso. 

//Aplicando 4 para el caso 1, y completando con 1/2.

INT| Tan(x/2)*Sec^2(x/2) dx |

= 2 INT| Tan(x/2)*[(1/2)Sec^2(x/2) dx] |

= 2 {[Tan(x/2)]^(1+1)/(1+1)}

= 2 [Tan(x/2)]^2/2

= [Tan(x/2)]^2

= Tan^2(x/2) +C


EJERCICIO 3.- INT| Cos(ax)/√[b+sen(ax)] dx|


//Subimos el denominador al numerador a través de las leyes de los radicales y exponente.


Cos(ax)/√[b+sen(ax)]= Cos(ax)/(b+sen(ax))^(1/2)
= Cos(ax)(b+sen(ax))^(-1/2)

//Se integra ahora el nuevo diferencial aplicando la fórmula 4.


INT| Cos(ax)(b+sen(ax))^(-1/2) dx | 


v= b+sen(ax)
n=-1/2

dv/dx= d[b+sen(ax)]/dx= aCos(ax) :.
dv= aCos(ax) dx

//Continuamos con la integral completando con a.
=(1/a) INT| (b+sen(ax))^(-1/2)*[a Cos(ax)dx] |
=(1/a) {[(b+sen(ax))^(-1/2 +1)]/ (-1/2 +1)}
=(1/a) {[(b+sen(ax))^(1/2)]/ (1/2)}
=(2/a)[(b+sen(ax))^(1/2)
=2√(b+sen(ax))/a +C


//Fin

CÁLCULO INTEGRAL MEDIANTE FÓRMULAS 1-4 (2° PARTE)

Continuando con el tema publicado anteriormente, ahora se mostrará otro ejercicio que ejemplifica el casos en donde se pueden aplicar dos procedimientos de solución.

EJERCICIO 1. INT| √(ax) dx |

>>Una forma de resolver este problema es extrayendo la constante del radical utilizando ley de exponentes y radicales.

//Iniciando con álgebra.

INT| √(ax) dx |

=INT| (ax)^(1/2)dx |

=INT| (a)^(1/2) (x)^(1/2)dx |

//Continuamos con cálculo integral.

=(a)^(1/2) INT| (x)^(1/2)dx |

=(a)^(1/2) [(x)^(1/2+1)/(1/2 +1) ]  

//El siguiente paso es solo simplificar el resultado.

=(a)^(1/2) [(x)^(1/2+1)/(1/2 +1) ]  

=(a)^(1/2) [x*(x)^(1/2)/(3/2) ]

=x*(ax)^(1/2) x/(3/2)
=2x*(ax)^(1/2) /3 +C


>>La otra forma es la de revisar que el diferencial esté completo, el procedimiento que más se realiza para estos problemas.

INT| √(ax) dx |

=INT| (ax)^(1/2)dx |

//Paso 1.- Revisar qué fórmula tiene un parecido con su problema. En este caso es notable que tiene una relación directa con la 4.

INT |  (v^n)dv | = v^(n+1)/(n+1) +C

//Paso 2.- Igualar las constantes y variables de la fórmula con las del problema.

v=ax

n=1/2

//Paso 3.- Ya conociendo v, derivamos y despejamos para obtener el diferencial. En el caso de que dv=dx implica que el diferencial esta completa y se puede utilizar la fórmula como solución del problema.


v=ax

dv/dx=d(ax)/dx= a
dv/dx=a
dv=a dx

//Paso 4. En caso de que no se cumpla la condición indicada en el paso 3, entonces se recurre al álgebra  multiplicando o dividiendo, según sea el caso, al dx del problema por la constante que necesita; para no alterar la integral, de igual forma se le coloca un factor inverso (si se multiplica n a la dx, entonces se extrae un 1/n; si se divide por 1/n se extrae una n; si se multiplica por un -1 se extrae un -1) fuera de la integral. Después de esto, se procede a resolver la operación con la fórmula inicial.


INT| (ax)^(1/2)dx | ----> INT |  (v^n)dv | = v^(n+1)/(n+1) +C

v=ax
n=1/2
dv=adx


=(1/a)*INT| (ax)^(1/2)(a*dx) |

=(1/a)[ (ax)^(1/2+1)/(1/2+1) ]
=(1/a)(ax)(ax)^(1/2)/(3/2)
=(2/3)(ax/a)(ax)^(1/2)
=2x*(ax)^(1/2)/3 +C


//Nota: Si llega al paso tres y nota que el factor necesario para que este completo el diferencial NO ES UNA CONSTANTE, entonces en ese instante debe descartar la fórmula y buscar otra. Si aun así no encuentra una que se adecue a su problema, entonces recurra a las TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN.


//Fin

CÁLCULO INTEGRAL MEDIANTE FÓRMULAS 1-4

Como segunda parte del estudio de Cálculo de Una Variable, continuamos ahora con el Cálculo Integral. En esta clase de operaciones es de suma importancia dominar el álgebra, trigonometría, logaritmos y lógicamente, cálculo diferencial.

Nota: En este caso solo me enfocaré en los ejercicios y su solución, la explicación de su utilidad u origen le corresponderá a su instructor de taller o profesor de clase. 

Las primera fórmulas a utilizar son:

1. INT| du +dv -dw |= INT | du |  + INT | dv |  - INT | dw |
2. INT |  adv  | = a INT | dv |
3. INT |  dx  | = x + C
4. INT |  (v^n)dv | = v^(n+1)/(n+1) +C

Estas fórmulas se encuentran en el formulario utilizado en el Taller de Cálculo y de Técnicas de Integración.

EJERCICIO 1. INT |  (x+5)dx 

INT| (x+5)dx | 

=INT| xdx +5dx |                 //Desarrollando el producto.

=INT| xdx | + INT| 5dx |        //Separando con 1.

=INT| xdx| + 5 INT| dx |       //Extrayendo ctes con 2.

=[x^(1+1)/(1+1) +C + 5[x +C]   //Resolviendo con 4 y 3.

                             //Fin Calc. Integ., Inicio Alg.

=(x^2)/2 +C +5x +5C

=(x^2)/2  +5x +5C +C     //La suma de toda las ctes es una cte.

=(x^2)/2  +5x +C      //Por eso se representa con una sola C.

EJERCICIO 2. INT|[ (4x^2 -2x^(1/2))/x ]dx|

//Simplificando la división de un binomio entre un monomio.


(4x^2 -2x^(1/2))/x 
= 4x^2/x  -2x^(1/2)/x
= 4x^(2-1)  -2x^(1/2 -1)

= 4x^(1)  -2x^(-1/2)
= 4x  -2x^(-1/2)

El resultado anterior se utiliza para resolver la integral. Si se logra simplificar una función entonces su solución en la integración será sencilla, rápida y correcta. Este proceso de simplificar o modificar la función principal antes de integral se hace a través de Técnicas de Integración.


INT| [4x  -2x^(-1/2)]dx |


//Resolviendo con Cálculo Integral.
=INT| 4xdx  -2x^(-1/2)dx |
=INT| 4xdx | -INT|2x^(-1/2)dx |
=4 INT| xdx | -2 INT|x^(-1/2)dx |
=4[x^(1+1)/(1+1)] -2[x^(-1/2 +1)/(-1/2 +1)]

//Simplificando el resultado.
=4[x^(2)/2] -2[x^(1/2 )/(1/2)]
=(4/2)x^(2) -(2/(1/2))x^(1/2 )
=2x^(2) -(2/1/1/2)x^(1/2 )
=2x^(2) -(2*2/1*1)x^(1/2 )
=2x^(2) -(4/1)x^(1/2 )

//Solución.
=2x^(2) -4x^(1/2 ) +C



//Fin