CÁLCULO DIFERENCIAL, FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

Para concluir el apartado de CÁLCULO DIFERENCIAL, con esto ejemplificamos el procedimiento a realizar con las fórmulas DFT15-20. La siguiente etapa es mostrar la forma de utilizar las fórmulas para el CÁLCULO INTEGRAL y entrar en el procedimiento de TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN. Para aclara dudas, comentar aquí o en la página de Facebook TALLERES-DE-MATEMATICAS-UV.

DERIVADA DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DFT15-20

La siguiente y última parte a tratar en el taller sobre las derivadas, es la forma en como podemos utilizar las fórmulas DFT15-20 y el uso de algunas identidades trigonométrica.

Como en el caso de las funciones logarítmicas y exponenciales, es necesario tener presente la existencia de un argumento la cual no se puede manipular directamente con alguna operación elemental, sino que es necesario utilizar las identidades que tienen en el formulario. 

Otro dato a recordar, es que tanto estas como las anteriores fórmulas suelen no ocuparse directamente como las algebraicas sino que se aplican al final de desarrollar previamente derivadas algebraicas.

Nota: Para estos ejemplos ya no pondré la referencia sobre las fórmulas que utilicé del formulario en cada paso realizado.

a) FDT15: Dx[sen(u)]= cos(u)Dx(u)

y =sen(x^3)

y'=Dx[sen(x^3)] //Aplica FDT directamente
 =cos(x^3)Dx(x^3)
 =cos(x^3)(3x^2)

 =3x^2cos(x^3)


y =sen^3(x) =[sen(x)]^3

y'=3[sen(x)]^2Dx[sen(x)]  //Aplica FDT despues de
 =3sen^2(x)cos(x)Dx(x)  //utilizar FDA

 =3sen^2(x)cos(x)

b) FDT16: Dx[cos(u)]= -sen(u)Dx(u)

y =3cos(2x)

y'=Dx[3cos(2x)]
 =3Dx[cos(2x)]
 =3[-sen(2x)Dx(2x)]
 =3[-sen(2x){2Dx(x)}]
 =3[-sen(2x){2}]
 =-6sen(2x)

c) FDT17: Dx[tan(u)]=sec^2(u)Dx(u)

y = tan(x) - x

y´=Dx[tan(x) - x]
 =Dx[tan(x)] - Dx(x)
 =sec^2(x)Dx(x) - 1
 =sec^2(x) - 1 //ID. PITAGORICAS

 =tan^2(x)

d) FDT18: Dx[cot(u)]=-csc^2(u)Dx(u)

y =1/tan(x-1) =cot(x-1) //ID. RECIPROCAS

y'=Dx[cot(x-1)]
 =-csc^2(x-1)Dx(x-1)
 =-csc^2(x-1)[Dx(x)-Dx(1)]
 =-csc^2(x-1)[1-0]

 =-csc^2(x-1)

e)FDT19: Dx[sec(u)]=sec(u)tan(u)Dx(u)

y =sec^2(x) - 1

y´=Dx{[sec(x)]^2} - Dx(1)
 =2sec(x)Dx[sec(x)] - 0
 =2sec(x)[sec(x)tan(x)Dx(x)]

 =2sec^2(x)tan(x)

aunque tambien: sec^2(x) - 1 =tan^2(x) //IDENTIDAD PITAGORICA

y= tan^2(x)

y'=Dx[{tan(x)}^2]
 =2tan(x)Dx[tan(x)]
 =2tan(x)[sec^2(x)Dx(x)]

 =2sec^2(x)tan(x)

NOTA: 2sec^2(x)tan(x) = sen(x)/cos^3(x)


f)FDT20: Dx[csc(u)]=-csc(u)cot(u)Dx(u)

y= csc(ln|x|)

y'=Dx[csc(ln|x|)]
 =-csc(ln|x|)cot(ln|x|)Dx(ln|x|)
 =-csc(ln|x|)cot(ln|x|)[1/x Dx(x)]

 =-csc(ln|x|)cot(ln|x|)/x


//FIN

CÁLCULO DIFERENCIAL, FUNCIONES ALGEBRAICAS III

En el tema anterior se trató de funciones exponenciales y logarítmicas; ahora muestro un procedimiento para una función algebraica de productos entre variables como un previo a las funciones trigonométricas.

PRODUCTO ENTRE VARIABLES

y = (6x^3 - 1)(2x^2-1)^(1/3)

1.- Derivamos ambas partes:

Dx(y)=y'=Dx[(6x^3 - 1)(2x^2-1)^(1/3)] //DFA8

2.- Como se notará, la parte derecha del segundo igual indica que hay un producto donde interviene una variable, en esta caso x, y que no es posible separar. Recurrimos a la fórmula 8:

Dx(uv)= uDx(v) + vDx(u)

3.- Antes de aplicar la fórmula, es necesario determinar cuál será el témino u y cual el v; como es un producto, no importa la elección solo no se debe olvidar. Para mi caso:

u=(6x^3 - 1)
v=(2x^2-1)^(1/3)

4.- Como recomendación, se realiza la derivación por separado de cada término, y al final se sustituye en la fórmula; esto se debe hacer cuando apenas estamos iniciando en esto de la derivación, ya que un diminuto error no sería fácil de corregir al tener tantas operaciones en una hoja:

TERMINO DERIVADA

u=(6x^3 - 1) Dx(u) = Dx(6x^3 - 1)
Dx(6x^3) - Dx(1) //DFA6
6Dx(x^3) - 0 //DFA1,4
6[3x^2] - 0 //DFA3
=18x^2

v=(2x^2-1)^(1/3) Dx(v) = Dx(2x^2-1)^(1/3)
1/[3(2x^2-1)^(2/3)] Dx(2x^2-1) //DFA7.b
1/[3(2x^2-1)^(2/3)] [Dx(2x^2)-Dx(1)] //DFA6
1/[3(2x^2-1)^(2/3)] [2Dx(x^2)-0] //DFA4,1
1/[3(2x^2-1)^(2/3)] [2(2x)-0] //DFA3
=(4x)/[3(2x^2-1)^(2/3)]

5.- Finalmente, sustituimos en la DFA8:

y'= [(6x^3 - 1)(4x)]/[3(2x^2-1)^(2/3)] + (2x^2-1)^(1/3)(18x^2)

6.- Por medio del álgebra se llega al siguiente resultado:

y'=2x(66x^3-27x-2)/3(2x^2-1)^(2/3) 


//FIN

CALCULO DIFERENCIAL, FUNCIONES EXP. Y LOG.

Continuando con los ejercicios de cálculo diferencial, recordaremos  el procedimiento para resolver problemas relacionados con funciones exponenciales y logaritmos. Aprovecho para comentar que la única forma de poder intuir la fórmula a utilizar, es necesario que practiquen ("El error hace al maestro").

DERIVADAS DE EXPONENTES Y LOGARITMOS.

En este apartado se explica el uso de las fórmulas DFEL10-14, para uso exclusivo de funciones logarítmicas y exponenciales.

a) DFEL1O, LOGARITMO.

Esta fórmula se utiliza para resolver problemas donde intervenga el logaritmo. 

Dx(log u)=[(log e)/u]Dx(u)

Nótese que para estas funciones, el logaritmo tiene un argumento log(u) y el cual no puede ser modificado a menos que se utilicen fórmulas que permitan esto (Vease del formulario FEYL). Otro dato es que la literal "e" se toma en este caso como una constante y que es  el argumento; es común que cuando el argumento solo es un monomio no se coloca entre paréntesis, sin embargo, solo no lo pondré en la fórmula pero en los demás casos lo ocuparé para que no se confunda.

Ejemplifiquemos con la siguiente función:

y = 6x^2*log (2x)

y'= Dx[6x^2*log (2x)]
  = 6x^2Dx[log (2x)] + log (2x)Dx[6x^2] //DFA8
  = 6x^2[{(log e)/2x}Dx(2x)] + log (2x)(12x)  //DFEL10, DFA4,3
  = 6x^2[{(log e)/2x}(2)] + log (2x)(12x) //DFA4,1

  = 12x^2*log e/2X + 12x*log(2x)
  = 6x*log e + 12x*log(2x)
  = 6x[log e + 2log(2x)]
  = 6x[log e + log(2x)^2] //FEYL3
  = 6x[log(4ex^2)] //FEYL1

  = 6xlog(4ex^2)

b) DFEL11, LOGARITMO NATURAL O NEPERIANO.

Como en el logaritmo, el logaritmo natural tiene un argumento y se debe respetar o podremos modificarlo utilizando las fórmulas FEYL.

Dx(Ln|u|) = Dx(u)/u

y = ln^3|x|
  = (ln|x|)^3 //FEYL5

y'= Dx[(ln|x|)^3]
  = 3(ln|x|)^2Dx(ln|x|)       //DFA7
  = 3(ln|x|)^2[Dx(x)/x]      //DFEL11
  = 3(ln|x|)^2[1/x]      //DFA2

  = 3ln^2|x|/x

c) DFEL12, UNA CONSTANTE ELEVADA A LA POTENCIA VARIABLE.

Las siguientes fórmulas se utilizan para cuando nos referimos a potencias variables; en este caso tenemos que una constante es elevada a una potencia que es variable.

Dx(a^u) = a^u Ln|a|Dx(u)


y = 10^(nx)

y'= Dx[10^(nx)]
  = 10^(nx) Ln|10| Dx(nx) //DFEL12
  = 10^(nx) Ln|10| (n) //DFA4,1

  = 10^(nx)nLn|10|


d) DFEL13

Esta fórmula es utilizada cuando tenemos a la "e" elevada a una potencia variable, sino se considera como una constante.

Dx(e^u) = e^u Dx(u)

y = 2/e^x = 2e^(-x)

y'= Dx[2e^(-x)]
  = 2Dx[e^(-x)] //DFA4
  = 2[e^(-x) Dx(-x)] //DFEL13
  = 2[e^(-x)(-1)] //DFA2

  = - 2/e^x

e) DFE14

La última función es ocupada cuando una variable es elevada a una potencia variable.

Se recomienda realizar anticipadamente las operaciones y después sustituir en la derivada principal.

Dx(v^u) = uv^(u-1) Dx(v) + v^u Ln|v|Dx(u)


y = x^(2x)

v=x Dx(v)=Dx(x)=1   //DFA2

u=2x Dx(u)=Dx(2x)=2  //DFA4,2


y'= Dx[x^(2x)]
y'= 2x[x^(2x-1)](1) + x^(2x) Ln|x| (2) //DFEL14
y'= 2x^(2x) + 2x^(2x)Ln|x|

y'=2x^(2x)[1 + Ln|x|]




//FIN

CÁLCULO DIFERENCIAL, FUNCIONES ALGEBRAICAS II

Como dice la nota del ejercicio anterior, hay otra forma de resolver el mismo problema. Es de vital importancia que dominen el álgebra para poder resolver problemas de cálculo. La única forma para dominar estas materias es PRACTICANDO. No olviden comentar si tienen dudas.

DERIVADA DE UNA DIVISIÓN DE VARIABLES II

Ahora se ha de resolver el mismo problema, pero primero se trata de simplificar y después se aplican las fórmulas de cálculo ya conocidas.

DERIVAR LA SIGUIENTE FUNCIÓN.

y= (6x^3-2x)/2x^3

b) Aplicando algebra.

1.- Separamos el numerador:

y= 6x^3/2x^3 - 2x/2x^3

2.- Realizamos las divisiones, en este caso de monomio-monomio:

y= 3 - 1/x^2

3.- En mi caso, y como no me agrada trabajar con divisiones, utilizo AE5 y subo el denominador con exponente negativo:

y= 3 - x^(-2)

4.- Ahora aplico CALCULO DIFERENCIAL:

y= 3 - x^(-2)

y'=Dx[3 - x^(-2)]
 =Dx(3) - Dx[x^(-2)] //DFA6
 = 0- [-2x^(-3)] //DFA1,3
 = 2x^(-3)
 = 2/x^3

Todo depende de la habilidad matemática y de la facilidad con que pueden manipular una función; mismo resultado pero con menos ejercicio manual.

//FIN

CÁLCULO DIFERENCIAL, FUNCIONES ALGEBRAICAS

Para todos aquellos que estén estudiando cálculo-derivadas, les  muestro uno de los primero ejercicios publicados en la página de FACEBOOK. Recuerden comentar sus dudas o de algún error que tenga este ejercicio.

DERIVADA DE UNA DIVISIÓN DE VARIABLES.

La última fórmula para derivar funciones que son una división de variables, es la siguiente:

Dx(u/v)=[vDx(u)-uDx(v)]/v^2 //DFA9

como he comentado en el taller, siempre debemos buscar la función más sencilla para derivar; es decir, hay que reducir la división con álgebra para entonces, aplicar la fórmula y continuar con los demás pasos que dictamina el cálculo diferencial.

DERIVAR LA SIGUIENTE FUNCIÓN.

          y= (6x^3-2x)/2x^3

a) Resolviendo con la fórmula DFA9

1.- Primero se debe definir cual será nuestra u y cual nuestra v; en este caso sí importa cual es cual, pues ocasionara desastres si elegimos mal. Todo lo que este en el numerador será u y lo del denominador será v:

u = 6x^3-2x

v = 2x^3

2.- Como en la fórmula DFA8, se realizan por separado las derivaciones y al final se agrupan 

en una sola.

u = 6x^3-2x

        Dx(u) = Dx(6x^3-2x)

                Dx(6x^3)-Dx(2x)        //DFA6

                6Dx(x^3)-2Dx(x)       //DFA4

                6(3x^2)-2(1)       //DFA3,1

              = 18x^2 - 2

        v = 2x^3

        Dx(v) = Dx(2x^3)

                2Dx(x^3)        //DFA4

                2(3x^2)     //DFA3

              = 6x^2

3.- Se sustituye en la fórmula DFA9 y se simplifica con álgebra.

y= (6x^3-2x)/2x^3

Aplicando

     Dx(u/v)=[vDx(u)-uDx(v)]/v^2 //DFA9

y'= Dx[(6x^3-2x)/2x^3]

y' = [2x^3(18x^2 - 2) - (6x^3-2x)(6x^2)]/(2x^3)^2

  = [36x^5 - 4x^3 - 36x^5 + 12x^3]/4x^6

  = 8x^3/4x^6

  = 2x^(-3)

  = 2/x^3

4.- Este es un simple ejemplo, que tiene otra solución sencilla pero necesita del álgebra.

//FIN   

INICIANDO

Como apoyo de la página en FACEBOOK TALLERES DE MATEMÁTICAS UV iniciamos esta para seguir publicando soluciones y consejos o sugerencias a ejercicios tratados en los talleres tales como Álgebra, Cálculo Diferencial, Cálculo Integral y Técnicas de Integración.

Cabe recordar que estos talleres son hechos con la finalidad de ayudar a los estudiantes de la Facultad de Ingeniería de la Universidad Veracruzana, en Boca del Río-Veracruz; a través de otros estudiantes de grados avanzados.