CÁLCULO INTEGRAL MEDIANTE FÓRMULAS 8-17 (TRIGONOMÉTRICAS, PARTE 1)

Ya faltando 4 entregas para finalizar la parte de Cálculo Integral, les muestro los casos para Func. Trigonométricas a través de 10 fórmulas (8-17). En esta primera parte tratamos del 8 al 12. En estos ejemplos se analizan casos donde se encuentran sólo la función; en caso de encontrarla como un producto, su solución puede ser mediante técnicas de integración como lo vimos en la entrada anterior (por ejem: e^x Sen(x)), o porque es complemento de la integral y solo deben ocupar la fórmula 4.

EJERCICIO 1.- INT| x Sen(x^2)dx |

De igual forma que en los ejercicios anteriores, solo se necesita comprobar que la fórmula tenga completa su parte de derivada, es decir, que esté completo el diferencial. Como podrán notar la variable se encuentra en el argumento y si se encuentra un producto, eso quiere decir que el otro factor puede ser parte del diferencial. Y nunca olviden que las funciones trigonométricas deben estar siempre acompañadas del argumento, es una aberración poner solo SEN, COS, etc. 

//Fórmula 8: 

INT| Sen(v)dv |= -Cos(v) +C

v= x^2

dv/dx= d(x^2)/dx= 2x :. dv= 2xdx

(1/2)INT| Sen(x^2) 2xdx |

=(1/2)[-Cos (x^2)] +C

= -Cos(x^2)/2 +C

EJERCICIO 2.- INT| Cos(ln|x|)/x dx |

//Fórmula 9: 

INT| Cos(v)dv |= Sen(v) +C

v= ln|x|

dv/dx= d(ln|x|)/dx= 1/x :. dv= dx/x

INT| Cos(ln|x|) dx/x |

=Sen( ln(x) ) +C

EJERCICIO 3.- INT| dx/Cos^2(x) |

//Fórmula 10: 

INT| Sec^2(v) |= Tan|v| +C

//Un paso previo a la integración

1/cos^2(x)= 1^2/[cos(x)]^2 = [1/cos(x)]^2

Si 1/Cos(x)= Sec(x):. 

[1/cos(x)]^2= [Sec(x)]^2= Sec^2(x)

Entonces,

//Integremos

INT| Sec^2(x)dx |

v= x

dv/dx= d(x)/dx= 1 :. dv=dx 

= Tan(x) +C

EJERCICIO 4.- INT| Csc^2(3x) dx |

//Fórmula 11: 

INT| Csc^2(v) |= -Cot|v| +C

v= 3x

dv/dx= d(3x)/dx= 3 :. dv= 3dx

 (1/3)INT| Csc^2(3x) 3dx |

= -Cot(3x)/3 +C

EJERCICIO 5.- INT| Sec(t/3) Tan(t/3) dt |

//Fórmula 12: 

INT| Sec(v)Tan(v) |= Sec|v| +C

v= t/3

dv/dt= d(t/3)/dt= 1/3 :. dv= dt/3

(3)INT| Sec(t/3) Tan(t/3) dt/3 |

= 3 Sec(t/3) +C

//Fin.

Si tienen dudas, pueden dejar sus comentarios o seguirme en Twitter @Edno_Sam o en Facebook /TALLERES DE MATEMATICAS UV.

CÁLCULO INTEGRAL MEDIANTE FÓRMULAS 5-7 (EXP. Y LOG.)

Continuando con la Integración a través de fórmulas, en esta entrada se tratará la utilidad de las fórmulas 5, 6 y 7 cuando el problema trata una variable exponencial o logaritmo. En cada caso comentaré algunos casos que se pueden presentar.

EJERCICIO 1.- INT| (2x+3)/(x^2+3x) dx |

La primera fórmula es la 5 y trata sobre la solución de integrales tipo fracción. Si recuerdan en los trabajos anteriores, cuando tenemos una fracción lo que se hacia era subir el denominador al numerador con ayuda de la ley de exponentes 5 (revisar formulario), de tal forma que visualmente parecía una forma directa de solución con la fórmula 4 (para aclarar esto, ver entradas anteriores). No obstante puede resultar que el numerador es un complemento del diferencial, entonces si realizan primero verlo como la fórmula 4 y aun les sobran variables, entonces recurran a la 5. Como advertencia, recuerden que la fórmula 4 tiene una restricción y esta es que el exponente n debe ser diferente de -1 ya que de no ser así, el valor final sería 1 (x^0) y eso no es correcto.

//Fórmula 5: 

INT| dv/v |= ln|v| +C

INT| (2x+3)/(x^2+3x) dx |

v=x^2+3x

dv/dx= d(x^2+3x)/dx =2x +3 :. dv=(2x +3)dx

//Como dv está completa, utilizamos directamente la fórmula como solución.

=ln| x^2 +3x | +C

EJERCICIO 2.- INT| sec^2(y)/(a+b tg(y)) dy |

Este problema tiene la misma solución que el problema 1. Lo único que queda por aclarar es que la solución de fracciones con fórmula solo se tiene la 5 y las del 18 al 21; caso contrario, se deben utilizar Técnicas de Integración para encontrar una solución. 

INT| sec^2(y)/(a+b tg(y)) dy |

v= a+b tg(y)

dv/dy= d(a+b tg(y)) =b sec^2(y) :. dv= b sec^2(y) dy

= (1/b) INT| sec^2(y)(b dy)/(a+b tg(y)) |

=ln| a+b tg(y) | /b +C

EJERCICIO 3.- INT| a^(2x) dx |


La fórmula a tratar es la 6 y es sobre la integración de constantes con exponentes variables. Con respecto a ln|v| esta no es una fórmula directa sino que se obtiene mediante Integración por Partes.

//Fórmula 6: 

INT| a^v dv |= a^v/ln|a| +C

 INT| a^(2x) dx |

v=2x
dv/dx= d(2x)/dx= 2 :. dv= 2dx


= (1/2) INT| a^(2x) 2dx |
= (1/2) [ a^(2x)/ln|a| ] +C
= [ a^(2x)/2ln|a| ] +C


= [ a^(2x)/ln|a^2| ] +C

EJERCICIO 4.- INT| a^x e^x dx |


INT| a^x e^x dx |
= INT| (ae)^x dx |

v= x
dv/dx= dx/dx= 1 :. dv=dx


= (ae)^x/ln|ae| +C
= (ae)^x/(ln|a| +ln|e|) +C


= (ae)^x/(ln|a| +1) +C

EJERCICIO 5.- INT| 6e^(3x) dx |

Un detalle a considerar es que si en algún problema encuentran la letra e elevada a una potencia constante, entonces ES UNA CONSTANTE, por lo tanto solo se extraen de la integral. Si al momento de comparar el diferencia y notas que te sobran variables, entonces la forma de solucionarla es mediante la Técnica de Integración: integración por partes; o buscar un despeje mediante las leyes de exponentes.

//Fórmula 7: 

INT| e^v dv |= e^v +C

INT| 6e^(3x) dx |

//Primero extraemos las constantes y después verificamos el diferencial.

=6 INT| e^(3x) dx |

//Obtenemos el diferencial.

v= 3x

dv/dx= d(3x)/dx= 3 :. dv= 3dx


=6/3 INT| e^(3x) 3dx |


=2e^(3x) +C

EJERCICIO 6.- INT| xe^(x^2) dx|

INT| xe^(x^2) dx|

v=x^2
dv/dx= d(x^2)/dx= 2x :. dv= 2xdx


= (1/2) INT| e^(x^2) 2xdx |


= (1/2) e^(x^2) +C

//Fin.