CÁLCULO INTEGRAL MEDIANTE FÓRMULAS 1-4 (3° PARTE)

Como última parte, ahora veremos cómo es que se utilizan estas fórmulas con el método visto en la parte 2, para los casos en que la integral tiene una función trigonométrica. Es obvio que se necesita conocer el procedimiento para derivar funciones trigonométricas (el cual no explicaré a detalle pero hay ejercicios resueltos en otras entradas si es que necesitan consultar) y los principios y teoremas que existen para sustituir o simplificar.

EJERCICIO 1.- INT| Sen^2(x)*Cos(x) dx |

//Principio utilizado para funciones trigonométricas elevadas a una potencia.

Sen^2(x)= [sen(x)]^2

INT| [Sen(x)]^2*Cos(x) dx |

//Aplico la fórmula 4 puesto que es una función elevada a una potencia.

v= Sen (x)

n= 2

dv/dx= d(Sen(x))/dx= Cos (x)   :.

dv= Cos (x)dx  //El diferencial está completo.

//Resuelvo la integral con la fórmula 4 por estar completo el diferencial.

=[Sen(x)]^2*[Cos(x) dx]

={[Sen(x)]^(2+1)}/(2+1)

={[Sen(x)]^(3)}/(3)

=Sen^3(x)/3 +C

EJERCICIO 2.- INT| Tan(x/2)*Sec^2(x/2) dx|

En este caso se puede utilizar la fórmula 4 tanto en la tangente como en la secante, la elección lo hará el diferencial, es decir, uno de estos complementa el diferencial del otro. 

Caso 1.-

v= tan(x/2)

n= 1

dv/dx= d[tan(x/2)]/dx= Sec ^2(x/2)*(1/2) :.

dv= (1/2)Sec ^2(x/2) dx

Caso 2.-

v= Sec(x/2)

n= 2

dv/dx= d[Sec(x/2)]/dx= (1/2)[Sec(x/2)*Tan(x/2)] :.

dv=(1/2)Sec(x/2)*Tan(x/2) dx

Con este paso comprobamos que se aplicará la fórmula 4 pero si tomamos a "v" como tan(x/2); el otro caso nos arroja un producto de una secante con una tangente, y si revisamos la integral tenemos la tangente, pero ya no hay otra secante pues la que existe fue tomada como "v". Por lo tanto, utilizaremos el primer caso. 

//Aplicando 4 para el caso 1, y completando con 1/2.

INT| Tan(x/2)*Sec^2(x/2) dx |

= 2 INT| Tan(x/2)*[(1/2)Sec^2(x/2) dx] |

= 2 {[Tan(x/2)]^(1+1)/(1+1)}

= 2 [Tan(x/2)]^2/2

= [Tan(x/2)]^2

= Tan^2(x/2) +C


EJERCICIO 3.- INT| Cos(ax)/√[b+sen(ax)] dx|


//Subimos el denominador al numerador a través de las leyes de los radicales y exponente.


Cos(ax)/√[b+sen(ax)]= Cos(ax)/(b+sen(ax))^(1/2)
= Cos(ax)(b+sen(ax))^(-1/2)

//Se integra ahora el nuevo diferencial aplicando la fórmula 4.


INT| Cos(ax)(b+sen(ax))^(-1/2) dx | 


v= b+sen(ax)
n=-1/2

dv/dx= d[b+sen(ax)]/dx= aCos(ax) :.
dv= aCos(ax) dx

//Continuamos con la integral completando con a.
=(1/a) INT| (b+sen(ax))^(-1/2)*[a Cos(ax)dx] |
=(1/a) {[(b+sen(ax))^(-1/2 +1)]/ (-1/2 +1)}
=(1/a) {[(b+sen(ax))^(1/2)]/ (1/2)}
=(2/a)[(b+sen(ax))^(1/2)
=2√(b+sen(ax))/a +C


//Fin