CÁLCULO INTEGRAL MEDIANTE FÓRMULAS 1-4 (2° PARTE)

Continuando con el tema publicado anteriormente, ahora se mostrará otro ejercicio que ejemplifica el casos en donde se pueden aplicar dos procedimientos de solución.

EJERCICIO 1. INT| √(ax) dx |

>>Una forma de resolver este problema es extrayendo la constante del radical utilizando ley de exponentes y radicales.

//Iniciando con álgebra.

INT| √(ax) dx |

=INT| (ax)^(1/2)dx |

=INT| (a)^(1/2) (x)^(1/2)dx |

//Continuamos con cálculo integral.

=(a)^(1/2) INT| (x)^(1/2)dx |

=(a)^(1/2) [(x)^(1/2+1)/(1/2 +1) ]  

//El siguiente paso es solo simplificar el resultado.

=(a)^(1/2) [(x)^(1/2+1)/(1/2 +1) ]  

=(a)^(1/2) [x*(x)^(1/2)/(3/2) ]

=x*(ax)^(1/2) x/(3/2)
=2x*(ax)^(1/2) /3 +C


>>La otra forma es la de revisar que el diferencial esté completo, el procedimiento que más se realiza para estos problemas.

INT| √(ax) dx |

=INT| (ax)^(1/2)dx |

//Paso 1.- Revisar qué fórmula tiene un parecido con su problema. En este caso es notable que tiene una relación directa con la 4.

INT |  (v^n)dv | = v^(n+1)/(n+1) +C

//Paso 2.- Igualar las constantes y variables de la fórmula con las del problema.

v=ax

n=1/2

//Paso 3.- Ya conociendo v, derivamos y despejamos para obtener el diferencial. En el caso de que dv=dx implica que el diferencial esta completa y se puede utilizar la fórmula como solución del problema.


v=ax

dv/dx=d(ax)/dx= a
dv/dx=a
dv=a dx

//Paso 4. En caso de que no se cumpla la condición indicada en el paso 3, entonces se recurre al álgebra  multiplicando o dividiendo, según sea el caso, al dx del problema por la constante que necesita; para no alterar la integral, de igual forma se le coloca un factor inverso (si se multiplica n a la dx, entonces se extrae un 1/n; si se divide por 1/n se extrae una n; si se multiplica por un -1 se extrae un -1) fuera de la integral. Después de esto, se procede a resolver la operación con la fórmula inicial.


INT| (ax)^(1/2)dx | ----> INT |  (v^n)dv | = v^(n+1)/(n+1) +C

v=ax
n=1/2
dv=adx


=(1/a)*INT| (ax)^(1/2)(a*dx) |

=(1/a)[ (ax)^(1/2+1)/(1/2+1) ]
=(1/a)(ax)(ax)^(1/2)/(3/2)
=(2/3)(ax/a)(ax)^(1/2)
=2x*(ax)^(1/2)/3 +C


//Nota: Si llega al paso tres y nota que el factor necesario para que este completo el diferencial NO ES UNA CONSTANTE, entonces en ese instante debe descartar la fórmula y buscar otra. Si aun así no encuentra una que se adecue a su problema, entonces recurra a las TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN.


//Fin