CÁLCULO DIFERENCIAL, FUNCIONES ALGEBRAICAS III

En el tema anterior se trató de funciones exponenciales y logarítmicas; ahora muestro un procedimiento para una función algebraica de productos entre variables como un previo a las funciones trigonométricas.

PRODUCTO ENTRE VARIABLES

y = (6x^3 - 1)(2x^2-1)^(1/3)

1.- Derivamos ambas partes:

Dx(y)=y'=Dx[(6x^3 - 1)(2x^2-1)^(1/3)] //DFA8

2.- Como se notará, la parte derecha del segundo igual indica que hay un producto donde interviene una variable, en esta caso x, y que no es posible separar. Recurrimos a la fórmula 8:

Dx(uv)= uDx(v) + vDx(u)

3.- Antes de aplicar la fórmula, es necesario determinar cuál será el témino u y cual el v; como es un producto, no importa la elección solo no se debe olvidar. Para mi caso:

u=(6x^3 - 1)
v=(2x^2-1)^(1/3)

4.- Como recomendación, se realiza la derivación por separado de cada término, y al final se sustituye en la fórmula; esto se debe hacer cuando apenas estamos iniciando en esto de la derivación, ya que un diminuto error no sería fácil de corregir al tener tantas operaciones en una hoja:

TERMINO DERIVADA

u=(6x^3 - 1) Dx(u) = Dx(6x^3 - 1)
Dx(6x^3) - Dx(1) //DFA6
6Dx(x^3) - 0 //DFA1,4
6[3x^2] - 0 //DFA3
=18x^2

v=(2x^2-1)^(1/3) Dx(v) = Dx(2x^2-1)^(1/3)
1/[3(2x^2-1)^(2/3)] Dx(2x^2-1) //DFA7.b
1/[3(2x^2-1)^(2/3)] [Dx(2x^2)-Dx(1)] //DFA6
1/[3(2x^2-1)^(2/3)] [2Dx(x^2)-0] //DFA4,1
1/[3(2x^2-1)^(2/3)] [2(2x)-0] //DFA3
=(4x)/[3(2x^2-1)^(2/3)]

5.- Finalmente, sustituimos en la DFA8:

y'= [(6x^3 - 1)(4x)]/[3(2x^2-1)^(2/3)] + (2x^2-1)^(1/3)(18x^2)

6.- Por medio del álgebra se llega al siguiente resultado:

y'=2x(66x^3-27x-2)/3(2x^2-1)^(2/3) 


//FIN